梅森素?cái)?shù)：數(shù)論中的鉆石

【光明網(wǎng)科技】眾所周知，素?cái)?shù)也叫質(zhì)數(shù)，是只能被1和自身整除的數(shù)，如2、3、5、7、11等等。2300年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得就已證明素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)，并提出一些素?cái)?shù)可寫成“2^p-1”(其中指數(shù)p也是素?cái)?shù))的形式。這種特殊形式的素?cái)?shù)具有獨(dú)特的性質(zhì)和無(wú)窮的魅力，千百年來(lái)一直吸引著眾多的數(shù)學(xué)家(包括數(shù)學(xué)大師費(fèi)馬、笛卡爾、哥德巴赫、歐拉、高斯、哈代、圖靈等)和無(wú)數(shù)的業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者對(duì)它進(jìn)行探究；而17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家、法蘭西科學(xué)院奠基人馬林 梅森是其中成果較為卓著的一位，因此后人將2^p-1型的素?cái)?shù)稱為“梅森素?cái)?shù)”(Mersenne Primes)。迄今為止，人類僅發(fā)現(xiàn)47個(gè)梅森素?cái)?shù)。這種素?cái)?shù)歷來(lái)是數(shù)論研究的一項(xiàng)重要內(nèi)容，也是當(dāng)今科學(xué)探索的熱點(diǎn)和難點(diǎn)之一。由于梅森素?cái)?shù)珍奇而迷人，它被人們譽(yù)為“數(shù)論中的鉆石”。

　　貌似簡(jiǎn)單 探究極難

梅森素?cái)?shù)貌似簡(jiǎn)單，但探究難度卻極大。它不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且還需要進(jìn)行艱巨的計(jì)算。1772年，有“數(shù)學(xué)英雄”美名的瑞士數(shù)學(xué)大師歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了2^31-1(即2147483647)是第8個(gè)梅森素?cái)?shù)。這個(gè)具有10位的素?cái)?shù)，堪稱當(dāng)時(shí)世界上已知的最大素?cái)?shù)。歐拉的頑強(qiáng)毅力與解題技巧令人贊嘆不已；法國(guó)大數(shù)學(xué)家拉普拉斯說(shuō)的話，或許可以代表我們的心聲：“讀讀歐拉，他是我們每一個(gè)人的老師。”

探究梅森素?cái)?shù)不僅極富挑戰(zhàn)性，而且對(duì)探究者來(lái)說(shuō)有一種巨大的自豪感。1963年6月2日晚上8點(diǎn)，當(dāng)?shù)?3個(gè)梅森素?cái)?shù)2^11213-1通過(guò)大型計(jì)算機(jī)被找到時(shí)，美國(guó)廣播公司(ABC)中斷了正常的節(jié)目播放，在第一時(shí)間發(fā)布了這一重要消息。而發(fā)現(xiàn)這個(gè)素?cái)?shù)的美國(guó)伊利諾伊大學(xué)數(shù)學(xué)系全體師生感到無(wú)比驕傲，為了讓全世界都分享這一重大成果，以至把所有從系里發(fā)出的信封都蓋上了“2^11213-1是個(gè)素?cái)?shù)”的郵戳。

隨著指數(shù)p值的增大，每一個(gè)梅森素?cái)?shù)的產(chǎn)生都艱辛無(wú)比；而數(shù)學(xué)家和業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者仍樂此不疲，激烈競(jìng)爭(zhēng)。例如，在1979年2月23日，當(dāng)美國(guó)克雷研究公司的計(jì)算機(jī)專家大衛(wèi) 史洛溫斯基和哈里 納爾遜宣布他們找到第26個(gè)梅森素?cái)?shù)2^23209-1時(shí)，有人告訴他們：在兩星期前美國(guó)加州的高中生蘭登 諾爾就已經(jīng)給出了同樣結(jié)果。為此他們更加發(fā)奮努力，花了一個(gè)半月的時(shí)間，使用Cray-1型計(jì)算機(jī)找到了新的梅森素?cái)?shù)2^44497-1；該數(shù)有13395位，是當(dāng)時(shí)已知的最大素?cái)?shù)。這件事成了當(dāng)時(shí)不少主流媒體的頭條新聞。后來(lái)史洛溫斯基還獨(dú)自發(fā)現(xiàn)了6個(gè)梅森素?cái)?shù)，因而被人們稱為“素?cái)?shù)大王”。

大膽猜測(cè) 重大發(fā)現(xiàn)

人們?cè)趯ふ颐飞財(cái)?shù)的同時(shí)，對(duì)其重要性質(zhì)——分布規(guī)律的研究也一直在進(jìn)行著。從已發(fā)現(xiàn)的梅森素?cái)?shù)來(lái)看，它們?cè)谡麛?shù)中的分布時(shí)疏時(shí)密、極不規(guī)則，因此研究梅森素?cái)?shù)的分布規(guī)律似乎比尋找新的梅森素?cái)?shù)更為困難。英、法、德、美等國(guó)的數(shù)學(xué)家都曾分別給出過(guò)有關(guān)梅森素?cái)?shù)分布的猜測(cè)，但他們的猜測(cè)都以近似表達(dá)式給出，而且與實(shí)際情況的接近程度均難如人意。